Kolmikko (V, ⊕, ·)
on K-kertoiminen lineaariavaruus eli vektoriavaruus,
jos seuraavat neljä ehtoa (0) - (iii) ovat voimassa
(0) V on epätyhjä joukko ja K on kunta (useimmissa
tapauksissa K = R tai K = C).
(i) Joukossa V on määritelty sisäinen laskutoimitus
(''yhteenlasku''), ts. kuvaus ⊕:
V × V → V, joka liittää
jokaiseen pariin (u, v) ∈ V × V tarkalleen yhden alkion
u ⊕ v := ⊕(u, v) ∈ V.
(ii) Joukkoihin K ja V liittyy skaalausfunktio
(''skalaarilla kertominen'') ts. kuvaus ·: K × V → V,
joka liittää jokaiseen pariin (α, u)
∈ K × V täsmälleen
yhden alkion α·u := ·(α, u) &isin V.
(iii) Yhteenlaskulle ja skalaarilla kertomiselle on voimassa seuraavat
aksioomat:
A1. u ⊕ v = v ⊕ u kaikilla u, v
∈ V (vaihdannaisuus).
A2. (u ⊕ v) ⊕ w
= u ⊕ (v ⊕ w)
kaikilla u, v, w ∈ V (liitännäisyys).
A3. On olemassa alkio e ∈ V, jolle
u ⊕ e = u ja
e ⊕ u = u kaikilla
u ∈ V (yhteenlaskun neutraali-
eli nolla-alkio).
A4. Jokaista u ∈ V vastaa
−u ∈
V, jolle
u ⊕ (−u) = e ja
(−u) ⊕ u = e (vasta-alkio).
A5. α·(u ⊕ v)
= (α·u) ⊕ (α·v)
kaikilla α ∈ K, kaikilla u, v ∈ V.
A6. (α + β)·u
= α·u ⊕ β·u kaikilla α, β ∈ K,
kaikilla u ∈ V.
A7. α·(β·u)
= (αβ)·u kaikilla α,
β ∈ K,
kaikilla u ∈ V.
A8. 1·u = u kaikilla u ∈ V.
Jos (V, ⊕, ·) on K-kertoiminen
lineaariavaruus, joukkoa K sanotaan skalaariavaruudeksi tai
kerroinkunnaksi.
Jos K = R, on (V, ⊕, ·)
reaalinen lineaariavaruus; jos K = C, on (V, ⊕, ·)
kompleksinen lineaariavaruus.
Jatkossa puhutaan kolmikon sijasta usein lyhyesti lineaariavaruudesta V.
|