Calculus

Dynamical Calculus Problem Sheet 3: Logarithms

1. First Sketch: The natural logarithm ln x

Luonnollinen logaritmi ln on Neperin luku e-kantaisen eksponenttifunktion x -> ex käänteisfunktio, jossa kukin aidosti positiivinen luku x kuvautuu sille reaalivulle y = ln x, jolle ey = x. This page requires a Java capable browser.

Tehtäviä

Tällä elävällä taululla kuvataan luonnollisen logaritmin ln käytöstä. Nappuloilla saat esiin jäljityksen ja kuvaajan.

1. Paljonko on luonnollinen logaritmi luvusta 0.5 ?

2. Paljonko on luonnollinen logaritmi luvusta 20 ?

3. Mikä on luonnollisen logaritmin
määrittelyjoukko ?
arvojoukko ?

4. Minkä luvun luonnollinen logaritmi on -1 ?

5. Minkä luvun luonnollinen logaritmi on 2 ?

2. Second Sketch: Logarithm ln kx

This page requires a Java capable browser.

Tehtäviä

Saat nappuloilla esiin logaritmifunktiot x -> ln kx, k vakio.
Vertailun vuoksi mukana on erikseen kiinnitettynä luonnollinen logaritmi x -> ln x.
Vakion k arvoa voi säätää alareunan parametriakselilla.

1. Millä arvoilla k ja x on ln kx määritelty ?

2. Millä arvoilla k funktio y = ln kx on kasvava ?

3. Millä arvolla k käyrä y = ln kx kulkee pisteen (2,-1) kautta ?

4. Miten käyrät y = ln kx ja y = ln x eroavat toisistaan ?

5. Millä arvolla k käyrä y = ln kx on kaksi yksikköä alempana kuin käyrä y = ln x ?

3. Third Sketch: General logarithms logax

Yleistä kantalukua a olevan eksponenttifunktion x -> ax käänteisfunktio on a-kantainen logaritmi, jossa kukin aidosti positiivinen luku x kuvautuu sille reaalivulle y = logax, jolle ay = x.
Erityisesti siis ln = loge. This page requires a Java capable browser.

Tehtäviä

Saat nappuloilla esiin yleisen a-kantaisen logaritmin loga. Vertailun vuoksi mukana on erikseen kiinnitettynä luonnollinen logaritmi x -> ln x.
Kantaluvun a arvoa voi säätää alareunan parametriakselilla, jossa on merkittynä Neperin luku e ja Briggsin kantaluku 10 (miten saat näkyviin?!).

1. Millä arvoilla a ja x logaritmi logax on määritelty ?

2. Millä arvoilla a funktio y = logax on vähenevä ?

3. Millä arvolla a käyrä y = logax kulkee pisteen (2,-1) kautta ?

4. Millä arvoilla a käyrät y = ln x ja y = logax ovat toistensa peilikuvia ja minkä suoran suhteen ? Mikä on tällöin luvun a tarkka arvo ?

5. Millä arvolla a käyrä y = logax muuttuu pystysuoraksi ?