Lineaarialgebra

Dynaaminen tehtäväarkki 2: Skaalausfunktiot

- kohti lineaariavaruuksien käsitettä skalaarilla kertominen

HYVÄ OPISKELIJA
Tämä lomake voi lähettää vastauksesi opettajalle sähköpostina.
Kun olet käsitellyt tehtävät, painat vain lomakkeen lopussa olevaa Lähetä-nappia.

Älä poistu tältä sivulta ennenkuin olet vastannut ja lähettänyt tuotoksesi.

Jos on aivan pakko lopettaa kesken, niin lähetä se mitä siihen mennessä sait aikaan. Palaa myöhemmin tehtävien pariin ja lähetä vastauksesi jäljellä oleviin tehtäviin.


HYVÄ VIERAILIJA
Myös sivullamme vierailijat ovat tervetulleita lähettämään vastauksiaan ja kommenttejaan lomakkeen lopussa näkyvään osoitteeseen.

Nimi: 
Opiskelijanumero: 
Sähköpostiosoite: 

Työarkin tarkoitus
Työarkin tarkoitus on vahvistaa abtraktien laskutoimitusten ymmärtämistä; erityiskohteena tässä ovat kuvaukset
(skalaari,vektori) |--> vektori
missä vektorit pysyttelevät jossain tietyssä perusjoukossa, nk. vektorijoukossa, ja skalaarit toimivat (skaalaavat) jostain ulkoisesta joukosta käsin.

Sisältö

Lyhyt opastus
I Määritelmäntunnistustehtävät
II VSG-tunnistustehtävät
III VSG-tuottamistehtävät
IV Opiskelijapalaute


Lyhyt opastus

Tämä esimerkkitaulu kuvaa tavallista tasovektorien yhteenlaskua +, skalaareilla kertomista (eräs skaalausfunktio) ja lineaarikombinaatioita.
This page requires a Java capable browser. Näissä JavaSketchpad applet-konstruktioissa, joita tässä kutsumme tauluiksi, voit yleensä vetää (liikutella hiirellä) punaisia pisteitä. Nämä kuvaavat tavallisesti joko tason pisteitä tai suoralla olevia reaalilukuja.

Punainen piste u oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R2, kun taas punainen piste c suoralla kuvaa reaaliskalaaria (lukua) reaaliakselilla R.

Vektori c*u on parin (c,u) kuva tarkasteltavan skaalausfunktion suhteen; sanomme sitä skaalauksen tulokseksi.

Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella. Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (restart).

I Skaalausfunktiot: Määritelmäntunnistustehtävät
Kussakin seuraavista tasogeometrisissa kuvioissa näet skalaarin c reaaliakselilla, vektorin u ja operaation tuloksen c*u.

Palautetaan mieleen käsitteen "ulkoinen laskutoimitus" eli "skaalausfunktio jollekin joukolle" määritelmä:


SKAALAUSFUNKTION MÄÄRITELMÄ
Olkoot V ja K epätyhjiä joukkoja.
Jokaista kahden muuttujan funktiota K×V ®V sanotaan joukon V skaalausfunktioksi.
Tämä tarkoittaa: jokaista järjestettyä paria (c,u) joukossa K×V on vastattava tarkalleen yksi kuva-alkio joukossa V.
Kuva-alkiota c*u sanotaan skaalauksen tulokseksi. Skaalaajajoukkoa K sanotaan skalaarijoukoksi ja skaalattavien joukkoa V vektorijoukoksi.
Kurssillamme skalaarijoukko on tavallisesti reaalilukujen joukko R, mutta vektorijoukko milloin mikäkin.

I Tehtävä 1. Minkä kuvioiden A-F operaatio on skaalausfunktio koko tasolle V := R2 ?
Maksimi 6 x 1 = 6 pistettä.

This page requires a Java capable browser. This page requires a Java capable browser. This page requires a Java capable browser.
Kuvio A
Kuvio B
Kuvio C
Onko Kuvio A skaalausfunktio tasolle R2? kyllä ei en tiedä
Onko Kuvio B skaalausfunktio tasolle R2? kyllä ei en tiedä
Onko Kuvio C skaalausfunktio tasolle R2? kyllä ei en tiedä
This page requires a Java capable browser. This page requires a Java capable browser. This page requires a Java capable browser.
Kuvio D
Kuvio E
Kuvio F
Onko Kuvio D skaalausfunktio tasolle R2? kyllä ei en tiedä
Onko Kuvio E skaalausfunktio tasolle R2? kyllä ei en tiedä
Onko Kuvio F skaalausfunktio tasolle R2? kyllä ei en tiedä
I Tehtävä 2. Jos jotkut kuvioissa esiintyneet operaatiot eivät olleet mielestäsi skaalausfunktioita tasolle R2, niin selvitä miksi eivät.
Maksimi 4 pistettä.

Vastauksesi tehtävään I Tehtävä 2:

II Skaalausfunktiot: VSG-tunnistustehtävät

Seuraavassa näet kolmentyyppisiä matemaattisia ilmauksia: verbaalisia, symbolimuotoisia ja graafisia (VSG).
Ne kaikki kuvaavat jonkinlaista skalaari-vektori-operaatiota, ja useimmat muodostavat skaalausfunktion tasolle V : = R2.
Symboli-ilmauksissa
u  =  æ
ç
è
u1
u2
ö
÷
ø		 ,    v  =  æ
ç
è
v1
v2
ö
÷
ø		   ja  ||a||  on vektorin a pituus,
ja = - merkin oikealla puolella esiintyvät lausekkeet ovat normaaleja aritmeettisia operaatioita.

II Tehtävä 3. Mitkä seuraavista verbaalis-graafisista esityspareista kuvaavat samaa operaatiota tasossa R2?

Valitse kunkin sanallisen ilmauksen vieressä olevasta valikosta Kuvio A, B tai C, tai "ei mikään".
Maksimi 8 x 1 = 8 pistettä.

This page requires a Java capable browser. This page requires a Java capable browser. This page requires a Java capable browser.
Kuvio A
Kuvio B
Kuvio C

  Sanallinen ilmaus Vastaava kuvio   Sanallinen ilmaus Vastaava kuvio
1)
Vektoriin lisätään æ
ç
è		 1
1		 ö
÷
ø		 c-kertaisena.
2) Lisätään vektoriin yksikkövektori c-kertaisena.
3) Vektori peilataan x1-akselin suhteen. 4) Tulos on vektori puolitoistakertaisena.
5) Vektorien tavallinen skalaareilla kertominen. 6) Tulos on puolet tavallisesta skalaareilla kertomisesta.
7) Vektorin toisen koordinaatin merkki vaihdetaan. 8) Tulos on vektori itse.

II Tehtävä 4. Mitkä seuraavista symbolis-graafisista esityspareista kuvaavat samaa operaatiota tasossa R2 ?

Valitse kunkin symbolisen ilmauksen vieressä olevasta valikosta Kuvio A, B tai C, tai "ei mikään".
Maksimi 8 x 1 = 8 pistettä.

This page requires a Java capable browser. This page requires a Java capable browser. This page requires a Java capable browser.
Kuvio A
Kuvio B
Kuvio C
  Symboli-ilmaus Vastaava kuvio   Symboli-ilmaus Vastaava kuvio
a) c*u  :=  3/2 u b)
c*u   :=   æ
ç
è		 1 + c u1
1 + c u2		 ö
÷
ø
c) c*u  :=  c u d)
c*u  := æ
ç
è		 - u1
 u2		 ö
÷
ø
e)
c*u  :=  u +  æ
ç
è		 c
c		 ö
÷
ø
f)
c*u  :=   c-u
g) c*u  :=   3c/2 u h) c*u  :=  c/2 u

III Skaalausfunktiot: VSG-tuottamistehtävät
Seuraavat taulut (esimerkki + 4 tehtävää) sisältävät eräiden kaalausfunktioiden graafisia esityksiä.

Ne ovat eräänlaisia dynaamisia "kuva-arvoituksia", joille Sinun tulee muodostaa (tuottaa) verbaalinen ja symbolinen esitysmuoto.

Kukin pyydetty ilmaus on 3 pisteen arvoinen.
Maksimi (2 x 4) x 3 = 24 pistettä.


Tauluista, kuva-arvoituksista ja vihjeistä

Taulut sisältävät vihje-painikkeita (Hints), jotka tuovat esiin apuolioita, kuten konstruktioissa käytettyjä apupisteitä ja hahmottamista auttavia muita geometrisia elementtejä.

Pyydämme, että ilmoitat vastauksesi yhteydessä käytitkö vihjeitä ja miten paljon niistä oli apua. Tätä varten kunkin arvoituksen vastausalueiden perässä on monivalintakysymyksiä.

Halutessasi tyhjentää liikoja olioita paina Hide hints ja Show hints uudelleen.

Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (restart).

Arvoitusten idea selvinnee seuraavan esimerkin kautta.

III ESIMERKKIARVOITUS

Tehtävät
Maksimi 0 pistettä.
III Tehtävä a. Esitä operaatio sanallisessa muodossa.
Maksimi 0 pistettä. 		III Tehtävä b. Esitä operaatio symbolimuodossa.
Maksimi 0 pistettä.
This page requires a Java capable browser.
Vihjeet
Voit vapaasti käyttää vihjeitä (taulun nappula Hints).
Kerro kuitenkin vastausten antamisen jälkeen olevien valintanappuloiden avulla käytitkö vihjeitä, ja jos käytit, miten paljon niistä oli hyötyä.

Vihje 1: Kaksi konstruktiopistettä näytetään.

Vihje 2: Geometrinen konstruktio.

Varsinaisissa arvoituksissa kirjoita vastauksesi vastausalueelle taulun alle, ks. esimerkkivastaukset alla.

Verbaalinen esimerkkivastaus esimerkkiarvoitukseen:

Symbolimuotoinen esimerkkivastaus esimerkkiarvoitukseen:

III ARVOITUS 1

Tehtävät (yhteensä 6 pistettä)
III Tehtävä 5. Esitä operaatio sanallisessa muodossa.
Maksimi 3 pistettä. 		III Tehtävä 6. Esitä operaatio symbolimuodossa.
Maksimi 3 pistettä.
This page requires a Java capable browser.
Vihjeet
Voit vapaasti käyttää vihjeitä (taulun nappula Hints).
Kerro kuitenkin vastausten antamisen jälkeen olevien valintanappuloiden avulla käytitkö vihjeitä, ja jos käytit, miten paljon niistä oli hyötyä.

Vihje 1: Kaksi konstruktiopistettä näytetään.

Vihje 2: Geometrinen konstruktio.

Kirjoita vastauksesi vastausalueelle taulun alle.

Vastauksesi tehtävään III Arvoitus 1, Tehtävä 5 (sanallinen ilmaus):

Vastauksesi tehtävään III Arvoitus 1, Tehtävä 6 (symboli-ilmaus):

Käytitkö vihjeitä? en osan kaikki
Jos käytit vihjeitä, oliko niistä hyötyä? ei yhtään jonkin verran ratkaisevasti

III ARVOITUS 2

Tehtävät (yhteensä 6 pistettä)
III Tehtävä 7. Esitä operaatio sanallisessa muodossa.
Maksimi 3 pistettä. 		III Tehtävä 8. Esitä operaatio symbolimuodossa.
Maksimi 3 pistettä.
This page requires a Java capable browser.
Vihjeet
Voit vapaasti käyttää vihjeitä (taulun nappula Hints).
Kerro kuitenkin vastausten antamisen jälkeen olevien valintanappuloiden avulla käytitkö vihjeitä, ja jos käytit, miten paljon niistä oli hyötyä.

Vihje 1: Yksi konstruktiopiste näytetään.

Vihje 2: Lisätään kaksi suoraa.

Vihje 3: Koko konstruktio.

Kirjoita vastauksesi vastausalueelle taulun alle.

Vastauksesi tehtävään III Arvoitus 2, Tehtävä 7 (sanallinen ilmaus):

Vastauksesi tehtävään III Arvoitus 2, Tehtävä 8 (symboli-ilmaus):

Käytitkö vihjeitä? en osan kaikki
Jos käytit vihjeitä, oliko niistä hyötyä? ei yhtään jonkin verran ratkaisevasti

III ARVOITUS 3

Tehtävät (yhteensä 6 pistettä)
III Tehtävä 9. Esitä operaatio sanallisessa muodossa.
Maksimi 3 pistettä. 		III Tehtävä 10. Esitä operaatio symbolimuodossa.
Maksimi 3 pistettä.
This page requires a Java capable browser.
Vihjeet
Voit vapaasti käyttää vihjeitä (taulun nappula Hints).
Kerro kuitenkin vastausten antamisen jälkeen olevien valintanappuloiden avulla käytitkö vihjeitä, ja jos käytit, miten paljon niistä oli hyötyä.

Vihje 1: Kaksi konstruktiopistettä näytetään.

Vihje 2: Lisää pisteitä ja janoja.

Vihje 3: Koko konstruktio.

Kirjoita vastauksesi vastausalueelle taulun alle.

Vastauksesi tehtävään III Arvoitus 3, Tehtävä 9 (sanallinen ilmaus):

Vastauksesi tehtävään III Arvoitus 3, Tehtävä 10 (symboli-ilmaus):

Käytitkö vihjeitä? en osan kaikki
Jos käytit vihjeitä, oliko niistä hyötyä? ei yhtään jonkin verran ratkaisevasti

III ARVOITUS 4

Tehtävät (yhteensä 6 pistettä)
III Tehtävä 11. Esitä operaatio sanallisessa muodossa.
Maksimi 3 pistettä. 		III Tehtävä 12. Esitä operaatio symbolimuodossa.
Maksimi 3 pistettä.
This page requires a Java capable browser.
Vihjeet
Voit vapaasti käyttää vihjeitä (taulun nappula Hints).
Kerro kuitenkin vastausten antamisen jälkeen olevien valintanappuloiden avulla käytitkö vihjeitä, ja jos käytit, miten paljon niistä oli hyötyä.

Vihje 1: Kaksi konstruktiopistettä näytetään.

Vihje 2: Lisävihje.

Kirjoita vastauksesi vastausalueelle taulun alle.

Vastauksesi tehtävään III Arvoitus 4, Tehtävä 11 (sanallinen ilmaus):

Vastauksesi tehtävään III Arvoitus 4, Tehtävä 12 (symboli-ilmaus):

Käytitkö vihjeitä? en osan kaikki
Jos käytit vihjeitä, oliko niistä hyötyä? ei yhtään jonkin verran ratkaisevasti

IV Opiskelijapalaute

Tehtävä 13.
Lisähyvitys 2 pistettä.
Pyydämme Sinua kertomaan mitä pidät tällaisista tehtävistä ja työarkeista matematiikan opiskelun tukena ja välineenä.



Tällaisista työarkeista kiinnostuneet
voivat ottaa yhteyttä:
Martti.Pesonen@Joensuu.Fi