Kompleksianalyysi
1. Harjoitus

1. Olkoon z1 = 3+2i, z2 = 2-i ja w = -0.5+2i. Määrää reaaliluvut l1 ja l2 siten, että w = l1 z1 + l2 z2. JavaSketchpad-ohjelma

2. Mitä on (-i)-1?

3. Määritä kompleksiluku a siten, että

-i = a(1+i Ö3).
Mikä on a:n argumentti?

4. Tarkastellaan polynomia

P(z) = a0+a1 z + ¼+ an zn,
missä kertoimet a0,a1,¼,an ovat reaalilukuja ja muuttuja z on kompleksiluku. Todista: Jos z0 on yhtälön P(z) = 0 juuri, niin myös [`(z0)] on sen juuri.

5. Olkoon argz = 27933. Tutki, onko Im  z positiivinen vai negatiivinen.

6. Millä xy-tason käyrällä lauseke

-iz+1
z+i
on reaalinen?

7. Osoita, että muotoa

æ
ç
è
a
b
-b
a
ö
÷
ø
olevien matriisien joukko varustettuna matriisien yhteen- ja kertolaskulla on isomorfinen C:n kanssa.

8. Ratkaise yhtälöt (3+4i)[`(z)] = 1-2i ja 2z+i[`(z)]-1 = 0.

9. Jos x ¹ 0 on reaaliluku, niin -x ja 1/x ovat eri merkkisiä. Reaaliluvun vastaluku ja käänteisluku ovat siis aina eri lukuja. Päteekö vastaava tulos kompleksiluvuille z ¹ 0? JavaSketchpad-applet

10. Määrää kompleksiluvun

(1+i)2
(1-iÖ3)3
moduli ja argumentti.

11. Osoita, että

ê
ê
ê
ê
ê		 z1 - z2
1-
z1
 
 z2
ê
ê
ê
ê
ê		 = 1,
kun |z1| < 1 ja |z2| = 1.

12. Olkoon |z1| = |z2| = 1, z1 ¹ z2. Osoita, että

ê
ê
ê		 arg z1-z2
z1+z2
 ê
ê
ê		 = p
2
 .
Piirrä kuva. Mikä koulugeometrisesti tuttu tulos on kyseessä? JavaSketchpad-applet

13. Osoita, että

(Re z)(Im z) £ |z|2(argz),
kun 0 £ argz £ p/2.

14. Vektoreiden z1 = (x1,y1) ja z2 = (x2,y2) pistetulo on z1 ·z2 = x1 x2 + y1 y2. Esitä kompleksilukujen z1 ja z2 tulo pistetulon avulla käyttämällä vektoreita z1,z2,[`(z1)] = (x1,-y1),[`(z2)] = (x2,-y2),z1 * = (y1,x1) ja z2* = (y2,x2).

15. Todista kaava

z1 ·z2 = 1
2
 (z1
z2
 
 +
z1
 
 z2).
File translated from TEX by TTH, version 2.32.
On 31 Aug 1999, 14:21.