Algebra, syksy 1999

Kotitehtävät 9 (palautettava to 18.11.1999 klo 10 mennessä)

Ilmoituksia
1. Nämä ovat yhdistetyt kotilaskut ja ISETL-aktiviteetit. Palauttakaa ISETL-osasta paperitulosteet kotilaskujen mukana. Suosittelen, että teette (ainakin valtaosan) ryhmissä jo viikolla 8.-12.11.1999 normaaleihin ISETL-demoaikoihin.
2. Ennakkovälikokeeseen mahtuu perjantaina 12.11.1999 vielä toinen ryhmä Eliten lisäksi, siis luokka M8 klo 8.00-10.00. Halukas ryhmä ilmoittautukoon viimeistään torstaina klo 10 mennessä. Muiden välikoehan (ma 15.11.1999 klo 8.00-10.00) siirrettiin luokkaan M19.
3. Pistokkaat tiistaina 23.11.1999. Aiheina sivuluokat, normaalit aliryhmät, tekijäryhmät ja homomorfismit.

1. Etsi kaikki ryhmän Z20 (normaalit) aliryhmät H ja muodosta vastaavat tekijäryhmät Z20/H. Koska Z20 on syklinen ryhmä ja sen kaikki aliryhmät ovat normaaleja, tehtävän 5 mukaan tekijäryhmä Z20/H on syklinen. Selvitä siis, minkä tutun ryhmän kanssa tekijäryhmät ovat isomorfisia, sekä etsi tekijäryhmän virittäjäalkio. (Voi käyttää ISETLiä tarvittaessa).
Malli: aliryhmä á5ñ = {0,5,10,15}, tekijäryhmä
Z20/á5ñ = {{0,5,10,15}, {1,6,11,16}, {2,7,12,17}, {3,8,13,18}, {4,9,14,19}} @Z5,
virittäjäalkiona {1,6,11,16}.

2. Olkoot H1 ja H2 ryhmän G normaaleja aliryhmiä. Onko H1ÇH2 ryhmän G normaali aliryhmä?

3. Etsi ryhmän S3 aliryhmä N, joka on normaali.
a) Millainen on tekijäryhmä S3/N?
b) Minkä ryhmän kanssa se on isomorfinen?
c) Etsi myös aliryhmä, joka ei ole normaali. Vihje: voit käyttää ISETLiä apuna.

4. Olkoon G syklinen ryhmä, ja N mikä tahansa ryhmän G aliryhmä. Todista, että N on normaali aliryhmä.

5. Olkoon G syklinen ryhmä ja N mikä tahansa ryhmän G aliryhmä. Todista, että tekijäryhmä G/N on syklinen etsimällä alkio, joka virittää sen.

6-8. ISETL-tehtävät 1-3 ohessa. Siis: palauttakaa ISETL-osasta paperitulosteet kotilaskujen mukana.

File translated from TEX by TTH, version 1.96.
On 12 Nov 1999, 12:44.