Lineaarialgebra

Dynaaminen työarkki 4: Lineaarikuvaukset tasossa (ratkaisut ja tuloksia)

- projektio, peilaus, venytys ja kierto geometriselta kannalta
- lineaarisuus-ominaisuus
- matriisiesitys
Itse tehtäväarkki Lineaarikuvaus.htm

Työarkin tarkoitus

Työarkin tarkoituksena oli vahvistaa seuraavien käsitteiden ymmärtämistä:

funktion lineaarisuus
lineaarikuvauksen matriisiesitys

Sisältö

Lyhyet perusohjeet

0 Lineaariset perusfunktiot

I Tunnistusta ja arvoituksia

II Opiskelijapalaute

Lyhyet perusohjeet
Tämä esimerkkitaulu kuvaa tavallista tasovektorien yhteenlaskua +, skalaareilla kertomista (eräs skaalausfunktio) ja lineaarikombinaatioita.

This page requires a Java capable browser. Näissä JavaSketchpad applet-konstruktioissa, joita tässä kutsumme tauluiksi, voit yleensä vetää (liikutella hiirellä) värillisiä peruspisteitä, joihin konstruktiot nojaavat.
Punainen piste u oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R², kun taas punainen piste c suoralla kuvaa reaaliskalaaria (lukua) reaaliakselilla R.
Tulosvektori u+v on parin (u,v) kuva tavallisen koordinaateittaisen vektorien yhteenlaskun suhteen ja cu parin (c,u) kuva skalaarillakertomiskuvauksessa.
Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella. Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (restart).

O Lineaariset perusfunktiot tasossa

Seuraavat Javasketchpad-taulut kuvaavat lineaarisia perusfunktioita projektio, peilaus, venytys ja kierto, euklidisessa tasossa R².

Tason laskuoperaatiot ovat tietenkin tavallinen vektorien koordinaateittainen yhteenlasku ja skalaarilla kertominen.
Hiiren avulla voit vetää muuttujaa u ja säätää transformaatioita sopivalla tavalla. Kokeile reippaasti!

O A Projektio vaaka-akselille (maksimi 7 pistettä)

Success: 57% to 92%
This page requires a Java capable browser.

Tehtävä 0 A. Tutkitaan projektiota vaaka-akselille funktiona R² ® R².

1. Pisteen (2 4)^T kuva on
Success 92%

(4 0)^T

(2 0)^T

(0 2)^T

ei tietoa

2. Pisteen (2 4)^T alkukuva on Success 73%
(4 2)^T	(2 0)^T	2	tyhjä	ei tietoa

3. Pisteen (2 0)^T alkukuva on Success 79%
(4 2)^T	(2 4)^T	(2 0)^T	{(2 y)^T \| y in R}	ei tietoa

Käytä seuraavissa vaikkapa animointeja:

4. Mikä on janan (-6 2)^T ® (-4 -2)^T kuva?
Success 90%

(-6 -4)^T jana (-6 0)^T ® (-4 0)^T {(-6 0)^T,(-4 0)^T} ei tietoa

5. Mikä on ympyrän kuva?
Success 93% piste ympyrä jana ei tietoa

6. Onko funktio L injektio?
Success 72% kyllä ei ei tietoa

7. Onko funktio L surjektio?
Success 57% kyllä ei ei tietoa

O B Peilaus vaaka-akselin yli (maksimi 5 pistettä)

Success: 58% to 94%
This page requires a Java capable browser.

Tehtävä O B. Tutkitaan peilausta vaaka-akselin yli funktiona R² ® R².

2. Pisteen (2 4)^T kuva on Success 94%
(4 0)^T	(2 -4)^T	2	(-2 4)^T	ei tietoa

2. Pisteen (2 4)^T alkukuva on Success 82%
(4 2)^T	(-2 -4)^T	2	(2 -4)^T	ei tietoa

3. Mikä on ympyrän kuva?
Success 97%

piste

ympyrä

jana

ei tietoa

4. Onko funktio L bijektio?
Success 70%

kyllä

ei tietoa

5. Mitä on peilaukselle (LoL)(u) =
Success 58%

0 C Tason venytyksiä (maksimi 4 pistettä)

Success: 47% to 97%
This page requires a Java capable browser.

Tehtävä 0 C. Tutkitaan venytyksiä (dilation) funktioina R² ® R²:

æ
è

x₁
x₂

ö
ø

: =

æ
è

cx₁
x₂

ö
ø

æ
è

x₁
x₂

ö
ø

: =

æ
è

x₁
dx₂

ö
ø

Käytä aluksi vain vasemman puolen valintoja taulussa.

1. Mikä on janan kuva kuvauksessa C, kun c ei ole nolla? Success 91%
jana	ympyrä	kolmio	suora	ei tietoa

2. Mikä on ympyrän kuva kuvauksessa C, kun c ei ole nolla? Success 97%
jana	ellipsi	paraabeli	suora	ei tietoa

3. Onko funktio C bijektio, kun c < 0 ?
Success 72%

kyllä

ei tietoa

Tutkitaan nyt yhdistettyä funktiota (composition), jossa koordinaatteja skaalataan vakioilla, joita voit muutella alaosan "Change"-valinnoilla.

(D °C)

æ
è

x₁
x₂

ö
ø

æ
è

cx₁
dx₂

ö
ø

Käytä nyt alaosan yhdistetyn funktion valintoja (Compose C and D) sekä apuna vaikkapa ympyräanimointia.

4. Millaisilla arvoilla c ja d origokeskisen ympyrän kuva on ympyrä yhdistetyssä kuvauksessa DoC?
Pitää olla:
Success 47%

O D Tason kierto ja venytys (maksimi 4 pistettä)

Success: 31% to 96%
This page requires a Java capable browser.

Tehtävä O D. Tutkitaan tason kiertoja (rotation) ja venytyksen ja kierron yhdistämistä funktioina R²® R²:

Käytä aluksi vain vasemman puolen valintoja taulussa.

1. Mikä on janan kuva kuvauksessa R?
Success 91%

jana ympyrä kolmio suora ei tietoa

2. Mikä on ympyrän kuva kuvauksessa R?
Success 96%

jana ellipsi ympyrä suora ei tietoa

3. Määritä välin [0, 2p] kulma, jota vastaavassa kierrossa pisteen (4 1)^T kuva on positiivisella pystyakselilla. Kulma on:
Success 49%

Ota nyt käyttöön myös oikeanpuoleiset nappulat.

4. Onko funktio D bijektio kaikilla reaalisilla kertoimilla d ?
Success 34% kyllä ei ei tietoa

Tutkitaan nyt yhdistettyä funktiota DoR (Compose R and D). Voit muutella näitä alaosan "Change"-valinnoilla.

5. Resetoi (näppäimistön R:llä) kuvio ja valitse Compose R and D. Määritä yhdistetyn kuvauksen matriisi (likiarvot!):
1. rivi: 2.2 -1.2 2. rivi: 1.2 2.2 
Success 31%

6. Miten funktio DoR eroaa funktiosta RoD (kun aina tarkastellaan vain lopullista tulosta) ?
Success 66%

ei mitenkään paljon ei tietoa

I Lineaarikuvaukset: Tunnistusta ja arvoituksia

Kussakin seuraavista viidestä taulusta näet jonkin funktion L toimintaa ilmentävän konstruktion.
Sinun tulee selvittää taulun vieressä olevat tehtävät. Tehtävissä pyydetään yleensä valitsemaan yksi vaihtoehto tai kirjoittamaan vastausalueille numeerista tai verbaalista tietoa.

Palautetaan mieleen lineaarikuvauksen määritelmä:

LINEAARIKUVAUKSEN MÄÄRITELMÄ

Olkoot (V, +, ) ja (W, +, ) samakertoimisia (tässä reaalikertoimisia) lineaariavaruuksia ja L: V®W funktio.
Funktio L on lineaarinen, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:

(i) L(u + v) = L(u) + L(v) kaikilla u, v joukossa V
(ii) L(c u) = c L(u) kaikilla u joukossa V, kaikilla skalaareilla c.

Lyhyet ohjeet ja verryttelyä

Tämä esimerkkitaulu kuvaa erästä tason kuvausta F. Muuttujavektorin u kuvavektori on F(u), ja se liikkuu (mahdollisesti), kun vedät hiirellä muuttujaa u.

Maksimi 2 pistettä.

Voit työskennellä vapaasti nappuloiden ja objektien liikuttelun kanssa askartelemalla. Kuitenkin monien tehtävien onnistunut ratkaiseminen perustuu ohjeiden seuraamiseen!
Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella. Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (restart).

Vasen puoli: yhteenlasku	Oikea puoli: skaalaus
Kuva-alkiot: IMAGES ON F

This page requires a Java capable browser.

Verryttelyä
1. Mikä on vektorin (3 4)^T kuva?
()^T
Success 55%
2. Minkä vektorin kuva on (3 4)^T?
((1 3)^T)^T
Success 55%

Seuraavat ongelmat ovat yhteisiä tämän osion I tauluille:

1. Onko funktio F lineaarinen?
2. Mikä geometrinen konstruktio muodostaa funktion F (anna sanallinen ilmaus) ?
3. Muodosta funktion F määräävä symbolimuotoinen ilmaus.
4. Jos F on lineaarinen, esitä sen matriisi (approksimaatio).

Vastausesimerkkejä
1. Funktio ei ole lineaarinen. Tämä voidaan nähdä useillakin tavoilla:
- määritelmän ehdot (i) tai (ii).
- lineaarikuvauksen jonkin ominaisuuden puuttuminen.
Tässä yksinkertaisin lienee todeta, että nollavektori ei kuvaudu nollavektoriksi tässä kuvauksessa (todistettu ominaisuus!)
2. Määrität helposti siirtovektorin a, jolla F(u) saadaan vektorista u, mutta miten?
3. F(u) = u + a = u + (2 1)^T.

I Lineaarikuvaukset: Tunnistusta ja arvoituksia

Kussakin seuraavista viidestä taulusta näet jonkin funktion L toimintaa ilmentävän konstruktion.
Sinun tulee selvittää taulun vieressä olevat tehtävät.

Palautetaan mieleen lineaarikuvauksen määritelmä:

LINEAARIKUVAUKSEN MÄÄRITELMÄ

Olkoot (V, +, ) ja (W, +, ) samakertoimisia (tässä reaalikertoimisia) lineaariavaruuksia ja L: V®W funktio.
Funktio L on lineaarinen, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:

(i) L(u + v) = L(u) + L(v) kaikilla u, v joukossa V
(ii) L(c u) = c L(u) kaikilla u joukossa V, kaikilla skalaareilla c.

I Arvoitus 1

Maksimi 4 pistettä.
Success: 48% to 93%

This page requires a Java capable browser.

I Arvoituksen 1 tehtävät

1. Onko funktio L lineaarinen?
Success 93%

KYLLÄ

ei tietoa

2. Mikä geometrinen konstruktio muodostaa funktion L (anna sanallinen ilmaus) ?
Peilaus pystyakselin suhteen. 
Success 64%

3. Muodosta funktion L määräävä symbolimuotoinen ilmaus:
L(x y)^T = (-x y)^T 
Success 75%

4. Jos L on lineaarinen, esitä sen matriisi (approksimaatio):
1. rivi: -1 0 2. rivi: 0 1 
Success 48%

Kommenttisi Tehtävään I Arvoitus 1:
Näissä on runsaasti nappeja! Kun haluat pelkän u:n ja L(u):n näkyviin, paina IMAGES ON L, Hide Addition ja Hide Multiplication. Halutessasi piilota vielä janat.

I Arvoitus 2

Maksimi 4 pistettä.
Success: 39% to 88%

This page requires a Java capable browser.

I Arvoituksen 2 tehtävät

1. Onko funktio L lineaarinen?
Success 88%

KYLLÄ

ei tietoa

2. Mikä geometrinen konstruktio muodostaa funktion L (anna sanallinen ilmaus) ?
Kierto 90 astetta myötäpäivään, siis matemaattisesti ilmaistuna "negatiiviseen suuntaan". 
Success 42%

3. Muodosta funktion L määräävä symbolimuotoinen ilmaus:
L(x y)^T = (y -x)^T 
Success 50%

4. Jos L on lineaarinen, esitä sen matriisi (approksimaatio):
1. rivi: 0 1 2. rivi: -1 0 
Success 39%

Kommenttisi Tehtävään I Arvoitus 2:
Nappulapeloton saa vihjeinä kiertoympyrätkin näkyviin!

I Arvoitus 3

Maksimi 4 pistettä.
Success: 46% to 96% (?)

This page requires a Java capable browser.

I Arvoituksen 3 tehtävät

1. Onko funktio L lineaarinen?
Success 66%

kyllä

ei tietoa

2. Mikä geometrinen konstruktio muodostaa funktion L (anna sanallinen ilmaus) ?
Kuva L(u) saadaan, kun u venytetään kaksinkertaiseksi venytyskeskuksena piste (2 0)^T. 
Success 37%

3. Muodosta funktion L määräävä symbolimuotoinen ilmaus:
L(x y)^T = u + (u - (2 0)^T) 
Success 46%

4. Jos L on lineaarinen, esitä sen matriisi (approksimaatio):
Ei lineaarinen. 
Success 96% !!!W

Kommenttisi Tehtävään I Arvoitus 3:
Useita eri tapoja ajatella ja ilmaista, esim. L(x y)^T = u + (u - (2 0)^T) = 2(u - (2 0)^T) + (2 0)^T = 2 u - (2 0)^T

I Arvoitus 4

Maksimi 4 pistettä.
Success: 31% to 87% (?)

This page requires a Java capable browser.

I Arvoituksen 4 tehtävät

1. Onko funktio L lineaarinen?
Success 87%

kyllä

ei tietoa

2. Mikä geometrinen konstruktio muodostaa funktion L ?
Pistettä (2 -2)^T kierretään u keskipisteenä 90 astetta vastapäivään, siis positiiviseen suuntaan. 
Success 31%

3. Jos L on lineaarinen, esitä sen matriisi (approksimaatio):
Eipä ole lineaarinen. 
Success 90% !!!W

4. Mitä vihjeitä käytit?
Molemmat tarpeen ainakin minulle! 
Only 24% had clearly used Hints!

Kommenttisi Tehtävään I Arvoitus 4:
SELVISIKÖHÄN KUKAAN ILMAN Hinttejä?

I Arvoitus 5

Maksimi 4 pistettä.
Success: 30% to 90%

This page requires a Java capable browser.

I Arvoituksen 5 tehtävät

1. Onko funktio L lineaarinen?
Success 90%

KYLLÄ

ei tietoa

2. Mikä geometrinen konstruktio muodostaa funktion L ?
Peilaus suoran y = 3/2 x suhteen ja kutistus (noin) kertoimella 0.6. 
Success 30%

Kommenttisi Tehtävään I Arvoitus 5:
Kutistuskerrointa voi arvioida suoralla y = 3/2 x, vaikkapa käyttäen skalaarilla kertomista cu.

II Opiskelijapalaute

Tällaisista työarkeista kiinnostuneet
voivat ottaa yhteyttä:
Martti.Pesonen@Joensuu.Fi