Matemaattisten aineiden opettajien koulutuspäivät Joensuussa - SciFest 2009 (matematiikka)

Funktiokäsitteen näyttäytyminen lukiossa ja yliopiston peruskursseilla

Matematiikan peruskäsitteiden oppimisen pienimuotoista kehittämis- ja tutkimustoimintaa on harjoitettu laitoksellamme n. 10 vuotta.
Aluksi selviteltiin funktiokäsitteen osaamista opiskelijatöinä, ja voitiin havaita samat efektit ja defektit, jotka mm. Shlomo Vinner & Co identifioivat jo 1980-luvun lopulla. Tuli fiilis, että tarttis tehdä jotain, mutta ei oikein osattu soveltaa nykyajan menetelmiä yliopistoympäristöön: aidot konstruktivistiset menetelmät tuntuivat liian aikaavieviltä ja toisaalta poikkeavan liiaksi muusta aineenopetuksesta.

Sitten tuli innostus dynaamisten kuvioiden käyttöön 1990-luvun lopulla. Nämä sopivat mainiosti tasovektorioperaatioiden visualisoimiseen ja mahdollistivat vuorovaikutteisten virtuaaliaskartelutehtävien käytön.
Aluksi kuvioita käytettiin www-työarkeilla: esimerkiksi
Laskutoimitus.htm
Myöhemmin tehtävät monipuolistuivat ja ne muunnettiin WebCT-ympäristöön ja vihdoin Moodleen, mikä mahdollisti ainakin osittaisen automaattisen tarkastuksen.
Vuosina 2003-2005 toimittiin Suomen Akatemian ja saksalaisen DAAD:in tutkijavaihtorahoituksen turvin
tutkimusryhmä Ehmke-Haapasalo-Pesonen.

Tuloksista mainittakoon
1) erilaisten esitysmuotojen vertailut ja aiheuttamat väärinymmärrykset sekä
2) tilastollisten analyysien esiintuomat osaamisprofiilit:
"prosessirajoitteiset",
"prosessisuuntautuneet" ja
"prosessi-objektisuuntautuneet",
jotka voitiin vahvistaa myös perinteisten tenttikysymysten avulla.
Viimeksimainituilla on selvästi parempi teoreettisen ajattelun kyky.

Timo Ehmken esitys Juli's-päivillä 2005
Final report 2008 (not yet submitted)
Nyttemmin olemme noiden kokemusten valaisemina palaamassa funktiokäsitteeseen (uusi projekti, vähän aloitettukin, ei rahaa vielä).
Tutkimustehtävänä on kokeilla missä määrin syvällistä osaamista voidaan ennustaa jo funktiokäsitteen perusteella.

1. Funktio-käsite yliopistollisissa matematiikan opinnoissa ja koulussa

1.1. Funktio lukiossa ja osin peruskoulussakin

Lukio, matematiikkalinja
Algebran oppi- ja esimerkkikirja 2: funktiota ei enää määritellä, vaan kirjan alkupuoli noudattaa osan 1 tyyliä y = x:n lauseke.
Luvussa X (Differentiaalilaskentaa) otetaan raja-arvon määrittelyn yhteydessä käytöön y = f(x),
jossa f-kirjaimen ajatellaan merkitsevän sitä lakia, jonka mukaisesti y:n arvot riippuvat x:n arvoista.

Mutta katso! Lukion kolmannella v. 1972-3 tuli valaistus: vapaaehtoinen erikoispikakurssi joukko-opista ...

Omakohtainen kokemus: opiskelija sai taskurahaa yksityistunneista, joilla joukko-opin saloja esiteltiin lukiolaiselle,
piti mm. kääntää mitä yhtälön "ratkaisujoukko" L tarkoittaa, erityisesti: L = tyhjä joukko

Oppikirjoissa esiintyi suorastaan harhaanjohtavuuksia:
Joukko, johon on piirretty kolme identtistä oliota, on yhden alkion joukko!

Valtakunnallinen yleisradiokin osallistui joukko-oppitalkoisiin:

http://www.yle.fi/elavaarkisto/?s=s&g=4&ag=28&t=532&a=4635

1980-luvulla joukko-oppi-innostus seestyi, ja rajoittui ylemmille asteille
(mistä sitä ei olisi tarvinnut poistaakaan ...)

Funktion arvo kuitenkin määritellään useiden sääntöesimerkkien ja -tehtävien jälkeen:
"Funktion arvo saadaan sijoittamalla funktion lausekkeeseen f(x) muuttujan paikalle luku.
Merkintä f(3) tarkoittaa funktion arvoa muuttujan arvolla x = 3."

Lukio, pitkä matematiikka
Pitkä matematiikka osa 1 (Funktiot ja yhtälöt): käsitellään lausekkeita funktioina; esimerkiksi x², k^x, funktiota ei lainkaan määritellä
Pitkä matematiikka osa 2 (Polynomifunktiot): funktio määritellään vasta täällä, mutta mainitaan eksplisiittisesti muuttujan ja arvon olevan lukuja.
Pitkä matematiikka osa 7 (Derivaatta): funktio määritellään paremmin, siis myös määrittelyjoukot ovat esillä. Kuitenkin keskitytään rationaalifunktioihin.
Pitkä matematiikka osa 8 (Juuri- ja logaritmifunktiot): laajennus juuri- eksponentti- ja logaritmifunktioihin, yhdistetty ja käänteisfunktio. Ei puhuta bijektiosta vaan "Oletetaan, että funktio f saa jokaisen arvonsa vain yhdessä määrittelyjoukkonsa A kohdassa" ja "Jos luku y kuuluu funktion f arvojoukkoon B, niin yhtälöllä f(x) = y on tällöin yksikäsitteinen ratkaisu." etc

Esimerkeissä kylläkin esitellään muka-laajentavia näkökulmia (funktiokone, värien kuvaaminen),
vaikka paljon "luonnollisempia" esimerkkejä saisi reaalielämästä, mm. tietojärjestelmistä.

Kaiken kaikkiaan nykysuuntaus on hullunkurinen, se vähentää mm. sitä ajattelua ja mielikuvitusta ruokkivaa luovuutta,
jota kummallisempienkin funktioiden käsittely mahdollistaisi!
Funktio todella latistuu koneeksi.

1.2. Funktio matematiikan yliopisto-opinnoissa (aineopinnot)

• (O) jokaista alkiota a in A vastaa alkio b in B, joille (a,b) in F.
• (Y) jos (a,b) in F ja (a,c) in F, niin b = c.

Tarkka määritelmän tunteminen ja hallinta on edellytys todistusten todelliselle ymmärtämiselle ja todistustehtävien osaamiselle, mutta myös konkreettiselle "pitävälle" päättelylle mm. ääriarvotehtävissä.
Funktion määritelmän osaaminen - ulkoa tai ulkokohtaisesti - ei toisaalta takaa sen ymmärtämistä.

Lukion tiedoilla ja taidoilla pärjää niin kauan kun pitäydytään standarditilanteissa.
Tämä tietysti johtaa siihen, että opettaja teeskentelee opettavansa oikeaa matematiikkaa
ja opiskelijat oppivat sivuuttamaan "turhat krumeluurit" ja keskittyvät "oleelliseen",
mikä yleensä johtaa yrityksiin pärjätä vanhoilla tiedoilla.

Jotta oikeaa oppimista voi tapahtua, on siis otettava esille tilanteita ja esimerkkejä,
joissa ennen opitut menetelmät eivät pure, vaan jopa tuottavat vääriä tuloksia;
siis johtavat ilmeisiin ristiriitaisuuksiin.

70-luvulla silloinen yliopisto-opettajamme käski nollata pään,
"unohtaa kaikki mitä olemme luulleet tietävämme tai osaavamme matematiikasta".
Tämä onnistuu käytännössä vain osittain,
ja tulos riippuu pitkälti siitä kuinka hyvässä järjestyksessä oppijan entiset matikkaskeemat ovat.

Jotta uusi ja vanha tieto voivat lomittua ja järjestyä uudelleen, on skeemoja  tarpeen sekoittaa reippaasti.
Tähän tarvitaan siis kunnon ravistelua!

2. Funktiokäsitteen ravistelua peruskursseilla

2.1. Tehtävät ja niiden laatimisperusteet

Esimerkki 1. Reaalifunktion sääntö- ja relaatiopohjainen havainnollistus

Myös mutkallisempia voidaan dynaamisilla kuvioilla esittää havainnollisesti:

Esimerkki 2. Funktio potenssijoukolle

Funktion (tai ei-funktion) määrittelyssä käytetään sanallisia, symbolimuotoisia (lauseke tms.) ja kuvallisia ilmauksia (graafinen, dynaaminen kuvio,  taulukko etc.). Kokemus osoittaa selvästi, että vaikeampiinkin tilanteisiin vastataan "oikein", jos kyseessä todella on funktio, koska paljon herkemmin vastataan myöntävästi. Perustelunkaan vaatiminen ei tässä juuri auta, koska se yleensä on määritelmän vaatimusten luetteleminen.
On siis käytettävä tilanteita, joissa ei kyseessä ole funktio, vaikka se ehkä voisi siltä näyttää.
Esitetään jokin sääntö tai relaation osajoukko ja kysytään

vaatien perustelemaan, tai niinkuin automaattisesti tarkastettavissa valintatehtävissä,
hienojakoisemmat vastausvaihtoehdot.

Olemme kolleegani Dr. habil. Timo Ehmken kanssa käyttäneet seuraavanlaista vastausjaottelua:
 

1. Function On funktio. Näitä on vähän, koska niihin oikein vastaaminen "arvaamalla" oikein toisi väärän kuvan 2. Existence fails Ei ole funktio, koska ainakin yhdellä lähtöjoukon alkiolla ei ole lainkaan kuvaa. Tässä säännön ei tule koskea ihan jokaista lähtöjoukon alkiota. 3. Uniqueness fails Ei ole funktio, koska ainakin yhdellä lähtöjoukon alkiolla on useampi kuin yksi kuva maalijoukossa. Ei haittaa, vaikka kuvia sinänsä näyttäisi olevan enemmänkin, kunhan vain yksi niistä on maalijoukossa. 4. Inconsistence Ei ole funktio, koska ainakin yhdellä lähtöjoukon alkiolla ei ole kuvaa maalijoukossa. Tässä sääntö voi koskea kaikkia lähtöjoukon alkioita, mutta ainakin yhdellä ei ole kuvaa maalijoukossa (voi niitä olla sen ulkopuolella). 5. Multireason (was not used before 2008) Ei ole funktio, ja syitä on useita. Yksinkertaisuuden vuoksi moniongelmaisia tilanteita varten. 6. Bluff Ei ole funktio, koska ... ja jokin väärä perustelu tai epäolennainen asia.

Seuraavaksi kuvataan joiltakin osin millaisia tietokonepohjaisia funktiotestejä käytämme.
 

2.2. Testit matematiikan johdantokursseilla (syksyisin 2005-2008)

Vuoden 2005 syksyllä laadittiin Dr. Timo Ehmken kanssa Joensuussa tietokonepohjainen tehtäväkokoelma, jossa noudatettiin ylläolevaa vastausjaottelua 1-4. Tehtiin ensimmäinen versio (yritelmä) vertailevasta tutkimuksesta, jossa alkutestin mukaan jaettiin
opiskelijat kahteen yhtä osaavaan ryhmään. Sitten oli kahdenlaista harjoittelua, toinen proseduraalista ja toinen konseptuaalista.
Tämän jälkeen seurasi Funktiotesti 1, jossa hienojakoiset vastausvaihtoehdot.

1) Alkutesti funktioista: Ennen funktion käsittelyä lokakuussa valvotusti Moodle-ympäristössä,
kaikilla samat kysymykset, ja vastausvaihtoehdot vaihtelivat

2) Funktiotesti 1: Yhden muuttujan funktiot
Kahden erilaisen harjoittelujakson jälkeen, strukturoidut vaihtoehdot (ks. yllä)

3) Funktiotesti 2: Kahden muuttujan funktiot
Testi kahden muuttujan funktioista (ei tutkittu)

Vertaileva tutkimusasetelma tarkemmin
Tuloksia (jäi kesken, koska eroja oli vaikea havaita, ja projektikin loppui)

1) Alkutesti funktioista: Ennen funktion käsittelyä lokakuussa valvotusti Moodle-ympäristössä,
kaikilla samat kysymykset, ja vastausvaihtoehdot sitä sun tätä

2) Funktiotesti 1: Yhden muuttujan funktiot
Asia opetettu ja saanut harjoitella Funktio-oppimodulilla 1 Moodlessa (mukautuvassa tilassa samalla laajalla aineistolla)

3) Funktiotesti 2: Kahden muuttujan funktiot
Asia opetettu ja saanut harjoitella Funktio-oppimodulilla 2 Moodlessa (mukautuvassa tilassa samalla laajalla aineistolla)

2.3. Lineaarialgebra keväällä 2009

Nykyiset testit Moodlessa lineaarialgebrassa ovat muotoutuneet tutkimuksien kautta.

1) Funktiotesti: Yhden ja kahden muuttujan funktioista

2) Sisäinen laskutoimitus A x A --> A:

3) Ulkoinen laskutoimitus eli skaalausfunktio K x A --> A: