Lineaarialgebra

Dynaaminen työarkki 4: Lineaarikuvaukset tasossa (ratkaisut)

- projektio, peilaus, venytys ja kierto geometriselta kannalta
- lineaarisuus-ominaisuus
- matriisiesitys
- ominaisarvot ja ominaisvektorit (toisessa dokumentissa Lineaarikuvaus2Ratkaisut.htm)
Itse tehtäväarkki Lineaarikuvaus.htm

HYVÄ OPISKELIJA
Tämä lomake sisältää opettajan ratkaisut.

HYVÄ VIERAILIJA
Myös sivullamme vierailijat ovat tervetulleita lähettämään vastauksiaan ja kommenttejaan lomakkeen lopussa näkyvään osoitteeseen.

Työarkin tarkoitus

Tämän työarkin tarkoituksena on vahvistaa seuraavien käsitteiden ymmärtämistä:

funktion lineaarisuus
lineaarikuvauksen matriisiesitys
ominaisarvo ja ominaisvektori.

Työarkin tarkoitus

Tämän työarkin tarkoituksena on vahvistaa seuraavien käsitteiden ymmärtämistä:

lineaariset perusfunktiot tasossa
funktion lineaarisuus
lineaarikuvauksen matriisiesitys
ominaisarvo ja ominaisvektori (toinen dokumentti "Lineaarikuvaus2.htm")

Sisältö

Lyhyet perusohjeet

0 Lineaariset perusfunktiot

I Tunnistusta ja arvoituksia

II Opiskelijapalaute

Lyhyet perusohjeet

Tämä esimerkkitaulu kuvaa tavallista tasovektorien yhteenlaskua +, skalaareilla kertomista (eräs skaalausfunktio) ja lineaarikombinaatioita.

This page requires a Java capable browser.

Näissä JavaSketchpad applet-konstruktioissa, joita tässä kutsumme tauluiksi, voit yleensä vetää (liikutella hiirellä) värillisiä peruspisteitä, joihin konstruktiot nojaavat.
Punainen piste u oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R², kun taas punainen piste c suoralla kuvaa reaaliskalaaria (lukua) reaaliakselilla R.
Tulosvektori u+v on parin (u,v) kuva tavallisen koordinaateittaisen vektorien yhteenlaskun suhteen ja cu parin (c,u) kuva skalaarillakertomiskuvauksessa.

Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella. Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (restart).

O Lineaariset perusfunktiot tasossa

Seuraavat Javasketchpad-taulut kuvaavat lineaarisia perusfunktioita projektio, peilaus, venytys ja kierto, euklidisessa tasossa R².

Tason laskuoperaatiot ovat tietenkin tavallinen vektorien koordinaateittainen yhteenlasku ja skalaarilla kertominen.
Hiiren avulla voit vetää muuttujaa u ja säätää transformaatioita sopivalla tavalla. Kokeile reippaasti!

O A Projektio vaaka-akselille (maksimi 7 pistettä)

This page requires a Java capable browser.

Tehtävä 0 A. Tutkitaan projektiota vaaka-akselille funktiona R² ® R².

1. Pisteen (2 4)^T kuva on (4 0)^T (2 0)^T 2 (0 2)^T ei tietoa

2. Pisteen (2 4)^T alkukuva on

(4 2)^T (2 0)^T 2 tyhjä ei tietoa

3. Pisteen (2 0)^T alkukuva on

(4 2)^T (2 4)^T (2 0)^T {(2 y)^T | y in R} ei tietoa

Käytä seuraavissa vaikkapa animointeja:

4. Mikä on janan (-6 2)^T ® (-4 -2)^T kuva?

(-6 -4)^T jana (-6 0)^T ® (-4 0)^T {(-6 0)^T,(-4 0)^T} ei tietoa

5. Mikä on ympyrän kuva? piste ympyrä jana ei tietoa

6. Onko funktio L injektio? kyllä ei ei tietoa

7. Onko funktio L surjektio? kyllä ei ei tietoa

O B Peilaus vaaka-akselin yli (maksimi 5 pistettä)

This page requires a Java capable browser.

Tehtävä O B. Tutkitaan peilausta vaaka-akselin yli funktiona R² ® R².

2. Pisteen (2 4)^T kuva on

(4 0)^T (2 -4)^T 2 (-2 4)^T ei tietoa

2. Pisteen (2 4)^T alkukuva on

(4 2)^T (-2 -4)^T 2 (2 -4)^T ei tietoa

3. Mikä on ympyrän kuva? piste ympyrä jana ei tietoa

4. Onko funktio L bijektio? kyllä ei ei tietoa

5. Mitä on peilaukselle (LoL)(u) =

0 C Tason venytyksiä (maksimi 4 pistettä)

This page requires a Java capable browser.

Tehtävä 0 C. Tutkitaan venytyksiä (dilation) funktioina R² ® R²:

æ
è

x₁
x₂

ö
ø

: =

æ
è

cx₁
x₂

ö
ø

æ
è

x₁
x₂

ö
ø

: =

æ
è

x₁
dx₂

ö
ø

Käytä aluksi vain vasemman puolen valintoja taulussa.

1. Mikä on janan kuva kuvauksessa C, kun c ei ole nolla?

jana ympyrä kolmio suora ei tietoa

2. Mikä on ympyrän kuva kuvauksessa C, kun c ei ole nolla?

jana ellipsi paraabeli suora ei tietoa

3. Onko funktio C bijektio, kun c < 0 ? kyllä ei ei tietoa

Tutkitaan nyt yhdistettyä funktiota (composition), jossa koordinaatteja skaalataan vakioilla, joita voit muutella alaosan "Change"-valinnoilla.

(D °C) æ
è x₁
x₂
ö
ø = æ
è cx₁
dx₂
ö
ø

Käytä nyt alaosan yhdistetyn funktion valintoja (Compose C and D) sekä apuna vaikkapa ympyräanimointia.

4. Millaisilla arvoilla c ja d origokeskisen ympyrän kuva on ympyrä yhdistetyssä kuvauksessa DoC?
Pitää olla:

O D Tason kierto ja venytys (maksimi 4 pistettä)

This page requires a Java capable browser.

Tehtävä O D. Tutkitaan tason kiertoja (rotation) ja venytyksen ja kierron yhdistämistä funktioina R² ® R²:

Käytä aluksi vain vasemman puolen valintoja taulussa.

1. Mikä on janan kuva kuvauksessa R?

jana ympyrä kolmio suora ei tietoa

2. Mikä on ympyrän kuva kuvauksessa R?

jana ellipsi ympyrä suora ei tietoa

3. Määritä välin [0, 2p] kulma, jota vastaavassa kierrossa pisteen (4 1)^T kuva on positiivisella pystyakselilla. Kulma on:

Ota nyt mukaan myös oikeanpuoleiset nappulat.

4. Onko funktio D bijektio kaikilla reaalisilla kertoimilla d ? kyllä ei ei tietoa

Tutkitaan nyt yhdistettyä funktiota DoR (Compose R and D). Voit muutella näitä alaosan "Change"-valinnoilla.

5. Resetoi (näppäimistön R:llä) kuvio ja valitse Compose R and D. Määritä yhdistetyn kuvauksen matriisi (likiarvot!):
1. rivi: 2.2 -1.2 2. rivi: 1.2 2.2

6. Miten funktio DoR eroaa funktiosta RoD (kun aina tarkastellaan vain lopullista tulosta) ?

ei mitenkään paljon ei tietoa

I Lineaarikuvaukset: Tunnistusta ja arvoituksia

Kussakin seuraavista viidestä taulusta näet jonkin funktion L toimintaa ilmentävän konstruktion.
Sinun tulee selvittää taulun vieressä olevat tehtävät. Tehtävissä pyydetään yleensä valitsemaan yksi vaihtoehto tai kirjoittamaan vastausalueille numeerista tai verbaalista tietoa.

Palautetaan mieleen lineaarikuvauksen määritelmä:

LINEAARIKUVAUKSEN MÄÄRITELMÄ

Olkoot (V, +, ) ja (W, +, ) samakertoimisia (tässä reaalikertoimisia) lineaariavaruuksia ja L: V®W funktio.
Funktio L on lineaarinen, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:

(i) L(u + v) = L(u) + L(v) kaikilla u, v joukossa V
(ii) L(c u) = c L(u) kaikilla u joukossa V, kaikilla skalaareilla c.

Lyhyet ohjeet ja verryttelyä

Tämä esimerkkitaulu kuvaa erästä tason kuvausta F. Muuttujavektorin u kuvavektori on F(u), ja se liikkuu (mahdollisesti), kun vedät hiirellä muuttujaa u.

Maksimi 2 pistettä.

Voit työskennellä vapaasti nappuloiden ja objektien liikuttelun kanssa askartelemalla. Kuitenkin monien tehtävien onnistunut ratkaiseminen perustuu ohjeiden seuraamiseen!

Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella. Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (restart).

Vasen puoli: yhteenlasku	Oikea puoli: skaalaus
Kuva-alkiot: IMAGES ON F

This page requires a Java capable browser.

Verryttelyä
1. Mikä on vektorin (3 4)^T kuva?
()^T
2. Minkä vektorin kuva on (3 4)^T?
((1 3)^T)^T

Seuraavat ongelmat ovat yhteisiä tämän osion I tauluille:

1. Onko funktio F lineaarinen?
2. Mikä geometrinen konstruktio muodostaa funktion F (anna sanallinen ilmaus) ?
3. Muodosta funktion F määräävä symbolimuotoinen ilmaus.
4. Jos F on lineaarinen, esitä sen matriisi (approksimaatio).

Vastausesimerkkejä
1. Funktio ei ole lineaarinen. Tämä voidaan nähdä useillakin tavoilla:
- määritelmän ehdot (i) tai (ii).
- lineaarikuvauksen jonkin ominaisuuden puuttuminen.
Tässä yksinkertaisin lienee todeta, että nollavektori ei kuvaudu nollavektoriksi tässä kuvauksessa (todistettu ominaisuus!)
2. Määrität helposti siirtovektorin a, jolla F(u) saadaan vektorista u, mutta miten?
3. F(u) = u + a = u + (2 1)^T.

I Lineaarikuvaukset: Tunnistusta ja arvoituksia

Kussakin seuraavista viidestä taulusta näet jonkin funktion L toimintaa ilmentävän konstruktion.
Sinun tulee selvittää taulun vieressä olevat tehtävät.

Palautetaan mieleen lineaarikuvauksen määritelmä:

LINEAARIKUVAUKSEN MÄÄRITELMÄ

Olkoot (V, +, ) ja (W, +, ) samakertoimisia (tässä reaalikertoimisia) lineaariavaruuksia ja L: V®W funktio.
Funktio L on lineaarinen, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:

(i) L(u + v) = L(u) + L(v) kaikilla u, v joukossa V
(ii) L(c u) = c L(u) kaikilla u joukossa V, kaikilla skalaareilla c.